Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

So, meine Damen und Herren, herzlich willkommen. Wir hatten letztes Mal über den Begriff der

Spannung gesprochen und insbesondere diese Koshi-Sätze und so weiter uns angeschaut.

Die Idee ist ja, dass man eben den Körper, der belastet ist durch Kräfte, gedanklich zerteilt

und dann in dieser Schnittfläche sich eben anschaut diese sogenannten Spannungsvektoren,

diese T hier links und rechts und die sind eben definiert als der Beitrag zu der gesamten

Schnittkraft F von so einem kleinen Flächenelement dA, sodass wenn ich also den Spannungsvektor T

integriere über den gesamten Querschnitt, bekomme ich eben die resultierende Schnittkraft und für die

gilt ja eben, dass die eben so eine Wechselwirkungskraft ist, sodass die Schnittkraft links das Negative ist,

der Schnittkraft rechts und wie jetzt eben dieser Spannungsvektor T abhängt von den Spannungen,

das folgt eben aus diesen Dreiklangen von Koshi-Postulat, Koshi-Lämmer und Koshi-Theorem.

Das hatten wir letztes Mal durchgegangen oder sind wir letztes Mal durchgegangen. Das Koshi-Postulat,

das ist also eine Aussage, die hat eben einen axiomatischen Charakter, sagt eben aus,

dass dieser Spannungsvektor an einem beliebigen Punkt lediglich abhängt von dem normalen Vektor

zu beliebigen Schnittflächen, die durch diesen Punkt gehen. Es geht also nur darum, wie diese

Schnittfläche, was die für eine Tangente hat, sage ich mal, das bestimmt den Spannungsvektor.

Das Koshi-Lämmer ist praktisch so ein Zwischensatz, der sagt eben aus, dass der Spannungsvektor in einer

bestimmten Art und Weise abhängt von dem Oberflächenvektor N, und zwar, sagen wir da,

homogen vom Grad 1. Das heißt also im Endeffekt für uns später, dass wir so ein Vorzeichen dann

T von N oder T von minus N ist minus T von N dann sagen können. Und schließlich der Satz von Koshi,

Koshi-Theorem, sagt eben, dass der Spannungsvektor sich aus einer linearen Abbildung des Oberflächenvektors

ergibt und diese lineare Abbildung ist eine tensor zweiter Stufe, das ist eben gerade der

Spannungstensor. Das waren irgendwie diese drei Schritte. Hier ist das nochmal dargestellt.

Zunächst mal das Koshi-Postulat, das eben egal wie sie eben die Schnittfläche anlegen, solange diese

Tangentenebene, die da oben in diesem Bild angedeutet ist, immer die gleiche ist, dann ist der

Spannungsvektor eben auch immer der gleiche. Das ist also praktisch lediglich eine Funktion von der

Oberflächennormale N. Das ist das Koshi-Postulat erstens. Das Koshi-Lemma, das sagt eben aus,

dass was ich eben schon sagte, dass T von minus N minus T von N ist. Das kann man sich hier unten

steht das nochmal aus Gleichgewichtsbedingungen eigentlich überlegen. Da steht dann eben T1,

also auf der einen Seite ist der Spannungsvektor, der hängt dann eben nur ab von der Oberflächennormale

N1 und das sei die Referenznormale, ist dann also T von N und auf der anderen Seite T2 ist T von N2,

N2 ist aber minus die. Referenznormale ist dann T von minus N und dann Gleichgewicht der Kräfte

über so eine Schnittfläche sagt dann eben, dass die Summe aller Kräfte Null ist und daraus folgt

dann eben, dass T1 gleich minus T2 ist. Wenn wir das da einsetzen, steht da eben tatsächlich T von N

ist minus T von minus N. Das ist eben das Koshi-Lemma. Das ist einfach Gleichgewicht sozusagen.

Und schließlich das Koshi-Theorem drittens, das sagt eben, dass sich T durch so eine Abbildung mit

einer Größe, die ich hier mal sigma transponiert genannt habe, aus einer Abbildung mit dieser Größe

des Oberflächennormalen Vektors N ergibt. In Indexschreibweise können Sie das da rechts

daneben nochmal bewundern. Da sehen Sie dann auch, was mit diesem transponiert gemeint ist.

Da steht jetzt also Tj ist denn sigma ij mal ni. Das ist sozusagen die Indexschreibweise für

dieses Produkt, was Sie da in symbolischer Schreibweise links sehen. Wir hatten das

letztes Mal diskutiert. Das führt eben dazu, dass der erste Index von sigma dann eben die

entsprechenden Oberflächennormale bezeichnet. Der zweite Index bezeichnet, in welche Richtung

der entsprechende Beitrag von dem Spannungsvektor zeigt. Das ist also die Definition, die wir auch im

zweiten Semester gemacht haben. Das kann man auch umgekehrt definieren. Dann muss man sich eben

nur entsprechend dran halten. Wie wir später oder wie wir schon gesehen haben, ist ja sigma denn

zum Schluss symmetrisch. Das macht bei uns jetzt eigentlich keinen großen Unterschied. Nichtsdestotrotz

ist es vielleicht nicht schlecht, das einfach konsequent durchzuziehen. Zur Herleitung des

Cauchy-Theorems hatten wir erst so einen kleinen Zwischenüberlegungen gemacht, nämlich das

Oberflächen-Theorem uns angeschaut. Das sagte eben nichts anderes als das Integral des gerichteten